Divisibilidad

 

La divisibilidad como parte de la teoría de los números es la propiedad de usar los números enteros que se pueden representar como racionales para lograr “partir” este número en uno más pequeño entero.

La divisibilidad teniendo aplicaciones como:

·        Nos ayuda a encontrar con más facilidad los divisores de un número.

·        Nos ayuda a descomponer números en factores primos.

·        Nos ayuda a simplificar fracciones.

Y muchas cosas más cuando requerimos, pero ¿Qué es la divisibilidad?

Definición:

Si a y b son números enteros, decimos que b divide a a si existe un entero q tal que a=bq.

Ahora sabemos que para que dos números enteros puedan descomponerse en factores primos deben de ser capaces de dividirse de modo que el resultado sea un entero, no debemos confundirnos con dividir, ya que al dividir dos números no importa si el resultado es entero o no.  

La divisibilidad tiene propiedades que nos son útiles saber, como:

Propiedad (reflexiva): Para todo numero entero a se tiene que a divide a a.

a = a1

Propiedad (Transitiva): Si a, b y c son números enteros tales que a divide a b y b divide a c entonces a divide a c.

Teniendo dos enteros q y r tal que si a|b entonces

b=aq 

y si b|c entonces

c=br

Por lo tanto

a|c

c= (aq)r = a(qr)

Propiedad de simetría: Si a ay b son dos números distintos de 0 tales que a divide b y b divide a entonces a=bu en donde u es una unidad.

No siempre se puede tener que a|b y b=aq, en algunas ocasiones b no será divisible por a y es por ello que en esas situaciones se va a tener que:

b=aq+r

teniendo en cuenta que r va a ser el residuo de “dividir” b entre a. Un claro ejemplo puede ser que: a= 8 y b=67. Tendríamos que:

67= 8(8) +3

De esta manera vamos a preservar los enteros y asi ejecutar las operaciones de manera más fácil.

Bibliografía:

Cárdenas. (1995). Algebra Superior. (pág. 179). México: Trillas.