¿QUE SON LAS ECUACIONES DIOFANTICAS?

 Se llama ecuación diofantica o ecuación diofantina a cualquier ecuación algebraica, de dos o mas incógnitas, cuyos coeficientes, recorren el conjunto de los números enteros, de las que se buscan soluciones enteras o naturales, esto es, que pertenezcan al conjunto de los números enteros. las ecuaciones diofánticas tienen la forma ax+by=0

Reciben el nombre de ecuaciones diofánticas aquellas ecuaciones polinómicas, con coeficientes enteros, cuyas soluciones son números enteros. Vamos a estudiar aqui algunos tipos de ecuaciones diofánticas.

Ecuaciones del tipo ax + by = c.

Las tres cuestiones que vamos a responder son:

I) ¿Cuándo tiene solución?

11) ¿Caso de tener solución, cómo encontrarla?

Para responder a la primera pregunta, utilizamos el siguiente resultado. 

Proposición. La ecuación diofántica ax+by = c tiene solución si y sólo si m.c.d.(a,b) es divisor de c.

Una ecuación diofántica es una ecuación del tipo:

Ax+By= C
$$$$a⋅x+b⋅y=cdonde  a, b y c $a$, $b$ y $c$ son tres números enteros, y se pide que la soluciones x$x$ e y$y$ también sean enteras.

Las ecuaciones diofánticas no siempre tienen solución. De hecho, una ecuación diofántica sólo tiene solución si el término independiente (la c $c$) es divisible por el máximo común divisor de a$a$ y b$b$.

En este caso existen infinitas soluciones, que vienen dadas por: