Aplicaciones de Ecuaciones Diofanticas

 Ejemplos de uso de las ecuaciones 

Diofanticas

Las ecuaciones diofánticas tienen muchas aplicaciones en la vida cotidiana ya que como sabemos las ecuaciones diofánticas fueron creadas para darles soluciones enteras a las ecuaciones, pero más que darles soluciones a las ecuaciones se les da soluciones a los problemas cotidianos de la vida. Como, por ejemplo:

Cada año en día de muertos Doña Luisa regala dulces para las calaveritas de los niños y es por lo que compra bolsas de paletas y macarrones.

Este año después del día de muertos su hijo se ofreció a pagar la factura de los dulces siempre y cuando le dijera cuantas bolsas fueron de cada cosa, pero doña Luisa perdió la nota y ya había dado los dulces y no recordaba cuantas bolsas de macarrones y paletas compro, lo único que sabe es que la bolsa de paletas costaba $25, la de macarrones $15 y que en total pago $290. 

Este tan solo es un ejemplo de muchos problemas que existen y que requieren de darles soluciones enteras ya que como sabemos, al hacer una compra o bien pueden ser por pieza o por paquete, y como en este caso sabemos que se compraron bolsas de dulces, tienen que ser bolsas completas, soluciones enteras Empezaremos por resolver este problema de Doña Luisa para ello consideraremos los datos ya conocidos.

1.- Debemos poner en orden lo que ya sabemos. 

• Total, que pago por los dulces = $290 
• Pecio que pagar por una bolsa de macarrones =$15
• Precio que pagar por una bolsa de paletas = $25

Como no sabemos cuántas bolsas fueron las que se compraron de paletas y macarrones, estos valores serán nuestras variables tomando a x como las bolsas de macarrones y a y como las bolsas de paletas.

2.- Debemos generar una ecuación que satisfaga estos datos que ya tenemos. El valor de las bolsas por el precio de cada una más el valor de las otras bolsas por su respectivo precio, es igual a lo que pago por ellas.

15x+25y=290

                                                                            Nota:

  Estas ecuaciones son de la forma ax+by=c

3.- Ya que estamos buscando soluciones enteras y positivas debemos comprobar primero si nuestra ecuación realmente nos puede dar una solución entera y eso lo haremos comprobando que el máximo común divisor de los coeficientes de la ecuación divide al termino independiente, por lo que utilizaremos el algoritmo de Euclides para determinar el máximo común divisor de 25 y 15, que son los coeficientes de la ecuación.

Tomaremos el coeficiente más grande de nuestra ecuación para comenzar el algoritmo de Euclides teniendo como ya se mencionó la finalidad el obtener el M.C.D. (Máximo Común Divisor) que denotaremos con la variable d:

25= 1(15)+10

15=1(10)+5

10=1(2)+0

d = 5

De acuerdo con este algoritmo nos damos cuenta de que el número 5 es el M.C.D. de 25 y 15, por lo tanto, ahora debemos comprobar que d divide al termino independiente de nuestra ecuación a la cual le queremos dar solución.

d │290= Z

5│290 = 58

Ahora que ya comprobamos que 5 si divide a 290 ya estamos seguros de que la ecuación tiene soluciones enteras.

Posteriormente tenemos que escribir 5 como combinación lineal de 15 y 15, es decir el máximo común divisor, verlo como una combinación lineal de los coeficientes de la ecuación a resolver y para ello se despejan los resultados que se obtuvieron aplicando el algoritmo de Euclides, teniendo así:

10= 25(1)+15(-1)

5= 15(1)+10(-1)

y por lo tanto obtenemos:

5= 15(1)+10(-1)

5= 15(1)+[25(1)+15(-1)](-1)

5= 15(1)+25(-1)+15(1)

5=15(2)+25(-1)

Ahora para determinar una solución particular para las incógnitas x y y recordemos que d va a ser igual a la combinación lineal de los coeficientes 15 y 25, es decir si a=15 y b=25 tenemos:

d= as+bt                                                                      5=15(2)+25(-1)

s=2              t=-1

4.-Teniendo así en cuenta que la solución particular X₀, Y₀ de la ecuación es:

X₀= cs/d          Y₀=  ct/d

X₀= 290*2/5     X₀= 116

Y₀= 290*- 1/5         Y₀=-58

5.- Recordemos que por la teoría de números la ecuación diofántica con dos incógnitas tiene infinidad de soluciones y estas se obtiene considerando la suma de la solución particular con la solución de la ecuación homogénea asociada, teniendo así.

X=X₀+b/d*n                                           Y=Y₀ - a/d*n

Sustituimos:

X=116 +25/5*n                                       Y=-58 - 15/5*n

Siendo n un entero cualquiera, le vamos a dar el valor que nosotros deseamos y más  nos convenga, recordando que para este problema necesitamos tener soluciones enteras y positivas.

 

6.-En este caso elegiremos para n el -20 ya que este número al ser sustituido en nuestra ecuación de X y Y nos va a dar soluciones enteras positivas.

Nota:

Para obtener el valor de n se usa

el tanteo (varios intentos hasta salir)

X=116 +25/5*n

X=116+25/5*(-20)

X=16

 

Y=-58 - 15/5*n

Y=-58 - 15/5*(-20)

Y=2

Ahora ya sabemos que las soluciones enteras positivas que satisfacen 15x+25y=290 son x=16 y y=2.

7.-Para finalizar debemos comprobar si nuestras soluciones satisfacen nuestra ecuación y para ello vamos a sustituir x y y.

15x+25y=290

15(16)+25(2)=290

290=290

Listo, ahora sabemos que Doña Luisa compro 16 bolsas de macarrones y 2 bolsas de paletas por lo que pago en total $290.